Matemáticas y realidad

Mientras que en otras épocas se consideraba a las matemáticas aplicadas a la física como un lenguaje convencional, en la actualidad tienden a ser consideradas como las únicas propiedades objetivas de la materia. Una vez que se eligen las variables relevantes para una descripción, como ser masa, velocidad y aceleración, el vínculo matemático entre las mismas tiene un carácter único para cierto fenómeno descrito, ya que en esas relaciones matemáticas se encuentra toda la información requerida para una adecuada descripción.

Galileo Galilei fue el iniciador de la física experimental y también el primero en aplicar las matemáticas en la descripción del movimiento. Las verificaciones experimentales no sólo las establecía para verificar hipótesis de tipo cualitativo sino, esencialmente, cuantitativo. Al respecto escribió: “Vamos a instituir una ciencia nueva sobre un tema muy antiguo. Tal vez no haya, en la naturaleza, nada más antiguo que el movimiento; y acerca de él son numerosos y extensos los volúmenes escritos por los sabios. Sin embargo, entre sus propiedades, que son muchas y dignas de saberse, encuentro yo no pocas que todavía no han sido observadas ni demostradas hasta ahora”.

“Se ha fijado la atención en algunas que son de poca importancia, como por ejemplo, que el movimiento natural (libre) de los graves en descenso se acelera continuamente; sin embargo, no se ha hallado hasta ahora en qué proporción se lleva a cabo esta aceleración; pues nadie, que yo sepa, ha demostrado que los espacios, que un móvil en caída y a partir del reposo recorre en tiempos iguales tienen entre sí la misma razón que tiene la sucesión de los números impares a partir de la unidad”.

“Se ha observado que las armas arrojadizas o proyectiles describen una línea en cierto modo curva; sin embargo, nadie notó que esa curva era una parábola. Yo demostraré que esto es así, y también otras cosas muy dignas de saberse; y lo que es de mayor importancia, dejaré expeditos la puerta y el acceso hacia una vastísima y prestantísima ciencia, cuyos fundamentos serán estas mismas investigaciones, y en la cual, ingenios más agudos que el mío, podrán alcanzar mayores profundidades” (Citado en “Sigma. El mundo de las matemáticas” (Tomo 2) de James R. Newman-Ediciones Grijalbo SA-Barcelona 1976).

Puede decirse que distintos fenómenos físicos, regidos por leyes que tienen una misma forma matemática, tienen propiedades semejantes. Como ejemplo veremos una relación matemática que rige tanto el movimiento de una partícula como el comportamiento de bobinados y condensadores en circuitos eléctricos. En el primer caso, la relación matemática es la siguiente:

Fuerza = Masa x aceleración

F = M dv/dt

En donde la aceleración se ha expresado como el ritmo de cambio de la velocidad (v) respecto del tiempo (t), esto es, la derivada de la velocidad respecto del tiempo. En este caso, la masa inercial (M) es una medida de la inercia o tendencia del móvil a mantener la velocidad (v) constante cuando se le aplica una fuerza F que trata de moverlo.

Veamos ahora el caso de una bobina L recorrida por cierta corriente eléctrica (i) impulsada por una tensión eléctrica (E):

E = L di/dt

Como la forma matemática es similar a la anterior, podemos decir que la inductancia (L) es una medida de la inercia magnética o tendencia de la bobina a mantener la corriente (i) constante cuando se le aplica una tensión eléctrica E.

En el caso de un capacitor, o condensador eléctrico, aparece una ecuación similar:

i = C de/dt

En este caso decimos que la capacitancia (C) es una medida de la inercia eléctrica o tendencia del capacitor a mantener la tensión (e) constante cuando por él circula una corriente eléctrica (i).

Existen dos formas posibles de razonar sobre los fenómenos físicos:

a) El físico intuitivo razona en base a imágenes que forma en su mente y que reproducen cercanamente el fenómeno en cuestión.
b) El físico matemático razona en base a la ley matemática que rige el fenómeno en cuestión.

Especialmente en el caso de los fenómenos atómicos y nucleares, sobre los cuales no resulta sencillo formarse imágenes mentales concretas, predomina el razonamiento en base a ecuaciones matemáticas, no existiendo una división neta entre estas dos formas de acceder a los fenómenos físicos. David Bohm escribió al respecto: “La teoría cuántica, y en menor medida la de la relatividad, no fueron nunca bien entendidas en términos de conceptos físicos, y por ello la física fue poco a poco resbalando hacia la práctica de tratar los temas por medio de ecuaciones. Esto ocurrió, desde luego, porque las ecuaciones eran la única parte de la teoría que todo el mundo creía poder entender realmente”.

“Eso hizo que, de manera inevitable, se desarrollara la idea de que las ecuaciones son en sí mismas el contenido esencial de la física. De alguna manera eso comenzó ya en los años veinte, cuando el astrónomo sir James Jeans afirmó que Dios tenía que ser un matemático. Más tarde, Heisenberg le dio gran empuje con su idea de que la ciencia no podía ya visualizar la realidad atómica mediante conceptos físicos, y de que las matemáticas son la expresión básica de nuestro conocimiento de la realidad”.

“Junto a ello llegó un cambio radical en lo que se entendía por capacidad intuitiva o imaginativa. Anteriormente esto había sido identificado con la habilidad para visualizar ideas y conceptos, pero ahora Heisenberg pretendía que la intuición y la imaginación proporcionan no una imagen de la realidad, sino una representación mental del significado de las matemáticas”. “Yo no estoy de acuerdo con esta evolución. De hecho, creo que el actual énfasis por las matemáticas ha ido demasiado lejos” (De “Ciencia, orden y creatividad” de D. Bohm y F. D. Peat-Editorial Kairós-Barcelona 1998).

Si consideramos que una hipótesis científica tiene una formulación inicial y un desarrollo posterior, puede afirmarse que, en la mayoría de los casos, la formulación inicial emplea el razonamiento intuitivo tradicional mientras que el desarrollo posterior se vuelca hacia la utilización de las matemáticas. El citado autor agrega: “Es verdad que las matemáticas permiten hacer observaciones creativas, y que la búsqueda de belleza matemática puede ser una guía de gran ayuda. Los científicos que han trabajado de esta manera han conseguido a menudo derivar un conocimiento nuevo a través del énfasis por el formalismo matemático…..Pero las matemáticas nunca fueron el único criterio de sus descubrimientos. Además, eso no significa que todos piensen lo mismo a este respecto. De hecho, yo creo que los conceptos verbales, los aspectos pictóricos y el pensamiento filosófico pueden contribuir de manera significativa a las nuevas ideas”.

“Einstein apreciaba ciertamente la belleza matemática pero, en realidad, no empezaba por las matemáticas, sobre todo en su periodo más creativo. En lugar de eso, comenzaba con sentimientos difíciles de especificar y una sucesión de imágenes de las cuales surgían en algún momento conceptos más detallados”. “Parece arbitrario decir que las matemáticas deben jugar un papel único en la expresión de la realidad. Las matemáticas sólo son una función de la mente humana, y otras funciones pueden, con toda seguridad, ser igualmente importantes, incluso en física”.

Mientras que Isaac Newton utiliza la geometría para establecer los fundamentos de la mecánica, Joseph Louis Lagrange, en el siglo XVII, establece una descripción equivalente pero sin utilizar ninguna figura geométrica, siendo un temprano indicio de que puede prescindirse de imágenes para la descripción de los fenómenos físicos. E. T. Bell escribió: “Desde el principio Lagrange fue un analista, jamás un geómetra. En él vemos el primer ejemplo notable de esa especialización que viene a constituir una necesidad en la investigación de la matemática. Las preferencias analíticas de Lagrange se manifiestan notablemente en su obra maestra, la Mécanique analytique, que proyectó en Turín cuando tenía 19 años, pero que fue publicada en París en el año 1788, cuando Lagrange tenía 52. «En esta obra no se encontrará ninguna figura», dice en el prefacio. Pero con un semihumorístico sacrificio a los dioses de la Geometría hace notar que la ciencia de la mecánica puede ser considerada como la Geometría de un espacio de cuatro dimensiones; tres coordenadas cartesianas con una coordenada del tiempo son suficientes para localizar una partícula en movimiento en el espacio y en el tiempo, una forma de considerar la mecánica que se ha hecho popular desde 1915, cuando Einstein la explotó en su relatividad general” (De “Los Grandes Matemáticos”-Editorial Losada SA-Buenos Aires 1948).

Una posible dualidad entre corpúsculo y onda aparece, en la mecánica clásica, en el siglo XIX. Lo que en un momento sólo pareció ser una curiosidad matemática, le sirvió a Louis de Broglie para introducir un importante concepto en la mecánica cuántica. D. Bohm y F. D. Peat escriben al respecto: “La teoría de Hamilton-Jacobi, desarrollada a finales de 1860, presentaba una nueva manera de tratar el movimiento, basada en ondas más que en partículas. En lugar de considerar que el movimiento de una partícula sigue un camino dado sobre el que actúan fuerzas externas, la teoría de Hamilton-Jacobi se basa en la descripción de una onda en la cual todo movimiento es perpendicular a una onda frontal. Una imagen sencilla la proporciona el movimiento de un corcho o un trozo de madera desplazado por las ondas en un lago. De esta manera, el movimiento lo determinan las ondas como un todo, y no acciones locales de una fuerza en cada punto de la trayectoria de una partícula”.

Uno de los mayores atractivos de la física teórica se encuentra en el desarrollo puramente matemático que se efectúa a partir de una ecuación matemática compatible con la realidad. En tales desarrollos aparecen fenómenos nuevos, o no advertidos por su realizador. De ahí que Paul Dirac dijo, respecto de su ecuación cuántica-relativista, que “era más inteligente que su autor” por cuanto en ella aparecía la posibilidad de la existencia de la antimateria, algo no previsto en un principio por el propio Dirac.