La predictibilidad de las matemáticas

Una persona que no sepa realizar cálculos aritméticos, no podría saber cuántas bolsas con 6 manzanas podría llenar si dispone de 120 de ellas. Sabemos que 6 x 20 = 120, por lo que la respuesta es 20 bolsas. En este ejemplo advertimos que, una vez que disponemos de la información de la cantidad total de manzanas disponibles, podemos prever, sin necesidad de agruparlas, la cantidad de grupos de 6 manzanas, lo que constituye una forma elemental de predicción. Se advierte, a partir de la aritmética, lo que sucede en el mundo real sin necesidad de realizar agrupamientos concretos.

Lo interesante en este caso radica en que, en otras ocasiones, cuando asociamos un ente matemático a una magnitud física, como masa, volumen, fuerza, etc., y encontramos un vínculo entre ellas, es posible conocer de antemano, realizando deducciones matemáticas, las cantidades de esas magnitudes que intervendrán en los fenómenos físicos reales. Incluso de esa manera será posible prever la existencia de fenómenos no conocidos aún. Por ejemplo, se sabe que la “intensidad de corriente eléctrica en un circuito es directamente proporcional a la tensión aplicada e inversamente proporcional a la resistencia eléctrica en dicho circuito”. Los miles de millones de circuitos eléctricos que existen a lo largo y a lo ancho del mundo siguen estrictamente esta ley de la naturaleza (Ley de Ohm) de tal manera que, conocidas dos de esas magnitudes, puede calcularse la otra. También aquí existe predictibilidad de las matemáticas.

Cuando algunos astrónomos observaron ciertas perturbaciones en la trayectoria del planeta Urano, intuyeron que debía existir otro planeta, desconocido aún, y que, por los efectos gravitacionales producidos, sería el causante de esas perturbaciones. Disponiendo de las leyes de la mecánica y de la gravitación universal de Newton, pudieron realizar cálculos precisos y prever así el lugar y el momento en que podría observarse el nuevo planeta, como ocurrió con Neptuno.

Una variante de la utilización de las matemáticas consistió en observar ciertas leyes de la física, advertir que “algo les faltaba”, incluir ese algo, y luego verificar que dicho cambio realmente existía en el mundo real. James Clerk Maxwell advirtió que las leyes conocidas del electromagnetismo mostraban un rol diferente cumplido por el campo eléctrico respecto del cumplido por el campo magnético; y que si ese rol fuese el mismo, existiría la posibilidad de que tales campos de fuerza pudieran propagarse en forma de ondas. Agrega el término matemático faltante y, posteriormente, se llega a la conclusión de que efectivamente existían las ondas electromagnéticas.

Es interesante advertir que dichas ondas, que permiten establecer comunicaciones inalámbricas (radio, televisión, etc.) son descubiertas utilizando lápiz y papel antes de verificar su existencia. De ahí que pueda ponerse en duda su posible descubrimiento por medios intuitivos, dado lo alejado que está dicho fenómeno de las observaciones cotidianas. Si bien la luz, que es también una propagación electromagnética, es algo observable a simple vista, no parece sencillo que alguien hubiese pensado que se trataba de una propagación de campos eléctricos y magnéticos variables sin disponer de las leyes matemáticas que los rigen.

En los inicios del siglo XX, las leyes matemáticas que describían la distribución de energía entre las distintas frecuencias de la radiación existente dentro de una cavidad cerrada, no concordaban con los resultados experimentales. Esta vez había que “corregir” matemáticamente esas leyes para que hubiese correspondencia entre teoría y realidad. Mientras que Maxwell había ampliado las leyes del electromagnetismo previendo la existencia de un fenómeno concreto, Max Planck corrige las leyes de la termodinámica a ciegas, con el único propósito de restablecer tal correspondencia. Si lograba su objetivo, tendría luego que encontrar el significado físico subyacente a la innovación realizada. Esta es la manera en que entra en la física la constante de acción de Planck, que es la mínima cantidad de acción (Acción = Energía x Tiempo) que interviene en un fenómeno físico. Tal discontinuidad de la cantidad de acción interviniente en los fenómenos naturales, seguramente hubiese pasado inadvertida si no hubiese surgido a partir de una predicción matemática.

Por ser el reposo y el movimiento rectilíneo uniforme equivalentes e indistinguibles, las leyes de la física deberían tener una misma forma matemática si las describimos en un sistema de coordenadas (x, y, z) en reposo que si lo hacemos respecto de un sistema de coordenadas en movimiento rectilíneo uniforme respecto del primero. A las leyes conocidas de la física había que aplicarles ciertas correcciones, o transformaciones, para que fueran matemáticamente idénticas en ambos casos.

Albert Einstein encuentra una inconsistencia en la física de su tiempo, ya que las leyes de la mecánica mantenían su misma forma matemática si se les aplicaba la “transformación de Galileo”, mientras que las leyes del electromagnetismo mantenían su misma forma matemática si se les aplicaba la “transformación de Lorentz”. Einstein pensaba que no existían fenómenos mecánicos ni fenómenos electromagnéticos puros, sino sólo fenómenos naturales. De ahí que todas las leyes de la física deberían resultar invariantes respecto de una de las dos transformaciones vigentes en la física.

Guiado por razonamientos matemáticos, Einstein pensaba que el dilema podría solucionarse cambiando las leyes de la mecánica para que mantuvieran su misma forma matemática con la transformación de Lorentz, o bien cambiando las leyes del electromagnetismo para que mantuvieran su misma forma con la transformación de Galileo. Lo primero no llevaba a incompatibilidades observables mientras que lo segundo era incompatible con la realidad. De ahí que cambia, o corrige, las leyes de la mecánica advirtiendo que la masa inercial de un cuerpo no es constante sino que cambia con la velocidad. Mediante cálculos posteriores, advierte que la energía y la masa eran equivalentes (E = m c²), resultado poco accesible a una predicción intuitiva.

Se llegó también a la conclusión de que el ordenamiento espacial y el temporal, de un mismo fenómeno, para los diversos observadores en movimiento, eran distintos, mientras que lo común para todos era el intervalo espacio-tiempo de 4 dimensiones (x, y, z, t), con el tiempo cumpliendo un rol similar al del espacio.

Galileo había advertido que todos los cuerpos físicos caen con una misma aceleración en el campo gravitacional terrestre, en forma independiente a su masa, aunque despreciando los efectos del aire. Debido a que Einstein había estudiado en detalle la forma matemática de las leyes físicas descritas en sistemas de coordenadas en movimiento rectilíneo uniforme, tuvo la idea de describir los fenómenos gravitacionales vinculándolos a sistema de coordenadas acelerados. Finalmente, tras ardua tarea, logra publicar la Teoría de la Relatividad Generalizada, que coincide con la gravitación newtoniana en campos gravitacionales débiles, pudiendo describir adecuadamente los fenómenos gravitacionales en campos intensos, donde la gravitación newtoniana falla.

Esta vez no busca corregir leyes para hacerlas compatibles con los diversos sistemas de coordenadas, sino que elabora matemáticamente un intervalo espacio-tiempo distorsionado por la presencia de masas gravitacionales y energía, constituyendo tal distorsión la causa de los diversos efectos gravitacionales.

Con la nueva teoría gravitacional, Alexander Friedmann y George Lemaitre llegan a la conclusión, mediante deducciones matemáticas, que nuestro universo debe expandirse. Tal predicción fue confirmada experimentalmente cuando pudieron observarse los indicios de la expansión de las galaxias.

Al existir ciertas semejanzas matemáticas entre la óptica geométrica y la mecánica, Louis de Broglie supuso que había allí algo más que una simple coincidencia, llegando finalmente a predecir en forma teórica la existencia de las ondas de materia, asociadas a las micropartículas que poseen masa. Al respecto escribió: “Esta analogía entre la dinámica clásica de los corpúsculos y la óptica geométrica, tan claramente puesta en evidencia por los trabajos de Hamilton, y luego por los un poco posteriores de Jacobi, hasta entonces sólo habían parecido una curiosa equivalencia analítica que permitía desarrollar en forma muy elegante y a menudo muy útil las teorías generales de la dinámica….Llegué inmediatamente a convencerme de que era preciso, al contrario, intentar desenvolver el paralelismo entre la dinámica corpuscular y la propagación de las ondas dándole un sentido físico y haciendo intervenir en ellos a los quanta” (De “Física y microfísica”-Espasa-Calpe Argentina SA-Buenos Aires 1951).

Las relaciones matemáticas entre magnitudes físicas pueden considerarse como atributos únicos y objetivos que caracterizan a los fenómenos naturales. Incluso podría pensarse que si, en civilizaciones inteligentes extraterrestres, describieran los fenómenos naturales, llegarían a leyes físicas similares, difiriendo sólo en la simbología empleada para representar los diversos entes matemáticos.

Las matemáticas no son como una herramienta que ayuda al científico a resolver sus problemas, sino que son como una brújula que lo orienta hacia objetivos que no pudo definir con claridad. Las herramientas responden a la voluntad del hombre, mientras que el hombre debe responder a las directivas de la brújula. Louis de Broglie escribió: “Guiado por sus intuiciones personales, impulsado por la fuerza interna de las analogías matemáticas, es arrastrado, casi a pesar suyo, a una senda de la cual él mismo ignora adónde lo conducirá por último. Teniendo hábitos espirituales debidos en gran parte a las enseñanzas recibidas y a las ideas que reinan a su alrededor, a menudo duda en romper con ellos y se esfuerza en conciliarlos con las nuevas ideas cuya necesidad advierte. Sin embargo, poco a poco se ve constreñido a llegar a interpretaciones que al principio no había previsto absolutamente y de las cuales termina muchas veces por estar más convencido cuanto más tiempo intentó en vano huirlas”.