El último teorema de Fermat

La demostración del “último teorema de Fermat” requirió del trabajo de varias generaciones de matemáticos a lo largo de 358 años, es decir, los años requeridos desde su enunciado hasta su demostración. Simon Singh escribió: “El matemático francés Pierre de Fermat, nacido en 1601, mantuvo intrigados durante 360 años a los matemáticos de todo el mundo a raíz de una nota que dejó en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, un clásico de la matemática griega. En ella, Fermat afirmaba que la ecuación x (exponente n) + y (exp n) = z (exp n) no tenía soluciones en números enteros salvo el caso en que n sea igual a 2. «He encontrado una demostración maravillosa para este problema, pero el margen es muy pequeño para escribirla», anotó. Finalmente, casi cuatrocientos años después, el matemático inglés Andrew Wiles demostró, tras varios intentos fallidos, el célebre teorema de Fermat” (De “El último teorema de Fermat”-Editorial Norma SA-Bogotá 1999).

Cuando sólo contaba 10 años de edad, Wiles se entusiasmó al poder entender el planteamiento del teorema, y desde ese momento decidió dedicar su vida a demostrarlo. Tal demostración implicaba la posibilidad de generalizar el teorema de Pitágoras para exponentes enteros mayores que 2. Así, en un triángulo rectángulo de lados 3 y 4, con una hipotenusa de 5 unidades de longitud, se cumple la siguiente igualdad:

3² + 4² = 5²

Se observa que, para el exponente 2, es posible encontrar tres números enteros 3, 4 y 5 que verifican la igualdad. Fermat se preguntaba si, para otros exponentes enteros, mayores que 2, sería posible encontrar tres números enteros que en ese caso verificasen la igualdad, llegándose finalmente a la conclusión de que no existe esa posibilidad.

Fermat es considerado como el más importante matemático del siglo XVII a pesar de ser un aficionado a las matemáticas, ya que su profesión de abogado y juez constituia su labor habitual. Siendo las matemáticas un pasatiempo para sus ratos libres, fue el iniciador, con Descartes, de la geometría analítica, y con Pascal, del cálculo de probabilidades. Fue un precursor del cálculo diferencial y se le recuerda también por un principio de la óptica geométrica.

Todos los teoremas propuestos en el margen del libro mencionado, excepto uno, fueron demostrados por él mismo o por otros matemáticos posteriores. De ahí que, luego de la demostración tardía de su “último teorema”, surgen dos posibilidades (defendidas por dos sectores de matemáticos).

a) Efectivamente hizo una demostración de su teorema.
b) No lo hizo, ya que para la demostración establecida se requirió de un desarrollo matemático como el alcanzado en el siglo XX, por lo que mintió.

Diversos matemáticos demostraron la imposibilidad para el exponente 3 y algunos otros, pero se requería de una demostración general para los infinitos exponentes enteros posibles. Este tipo de problemas puede parecer una pérdida de tiempo para quienes están alejados del ámbito científico, ya que descartan la posibilidad de cierta utilidad para la vida cotidiana de los seres humanos. Sin embargo, todo el desarrollo matemático requerido para llegar a la demostración puede aportar ayuda para la resolución de aspectos prácticos de interés general.

El industrial alemán, aficionado a las matemáticas, Paul Wolfskehl, luego de ser rechazado por una mujer, decide suicidarse. Fija una hora para ese acto final, ordena sus cosas, y, mientras espera la hora, hojea un libro de su biblioteca descubriendo un error cometido por un matemático de prestigio, referido a la demostración del teorema en cuestión. Ese hecho le salva la vida, ya que decide comunicar el error observado. Simon Singh escribió: “Se sentó, exploró el segmento inadecuado de la demostración y se concentró en tratar de desarrollar una breve demostración que consolidara el trabajo de Ernst Kummer o mostrara que su suposición era equivocada, en cuyo caso todo el trabajo de Kummer carecería de valor. Al amanecer la tarea estaba completa”.

“Wolfskehl rompió las cartas de despedida y escribió de nuevo su testamento a la luz de lo que había sucedido aquella noche. Tras su muerte en 1908 su nuevo testamento fue leído, y la familia Wolfskehl quedó sorprendida al descubrir que Paul había legado una considerable proporción de su fortuna como premio a quien pudiera demostrar el último teorema de Fermat…Era su manera de pagar su deuda con el acertijo que le había salvado la vida”.

Entre los conocimientos matemáticos previos y necesarios para la demostración final, se encuentra la conjetura de Taniyama-Shimura, dos matemáticos japoneses. Aun cuando algunas personas logran hacer aportes originales a la ciencia, algo inaccesible para la mayoría de los mortales, no logran una estabilidad emocional suficiente para superar los problemas que les presenta la vida. Este es el caso de Yutaka Taniyama, quien se suicida en plena juventud. En su carta de despedida escribe: “Hasta ayer, no tenía ninguna intención definitiva de quitarme la vida. Pero más que unos pocos han tenido que observar que últimamente he estado cansado física y mentalmente. En cuanto a la causa de mi suicidio, yo mismo no la entiendo, pero no es el resultado de ningún incidente en particular, ni de un asunto específico. Simplemente quisiera decir que estoy en un estado mental en el que he perdido la confianza en mi futuro”.

Simon Singh escribe a continuación: “Unas pocas semanas después del suicidio, irrumpió una segunda tragedia: su prometida, Misako Suzuki también se quitó la vida. Según se dijo, dejó una nota que decía: «Nos prometimos el uno al otro que no importara a dónde fuéramos, nunca nos separaríamos. Ahora que él se ha ido, yo también debo irme para estar junto a él»”.

Cada especialidad de las matemáticas requiere un estudio intensivo de todo lo realizado, o casi todo, en tal ámbito. Wiles estimaba que tendría que dedicarse totalmente unos diez años para lograr la demostración. Cuando se le preguntó a David Hilbert por qué nunca había intentado una demostración del teorema de Fermat, contestó: “Antes de comenzar tendría que dedicar tres años de estudio intensivo y no tengo tanto tiempo para gastar en un posible fracaso”.

Para la demostración, Wiles utilizó la teoría de grupos, una rama de las matemáticas creada en el siglo XIX por un joven de unos 16 años, Evariste Galois, muerto en un duelo (por cuestiones políticas) antes de cumplir los 21 años.

La actividad científica, teniendo en cuenta el necesario intercambio de información, no es una actividad individual sino colectiva. Quien pudo realizar la demostración final, Andrew Wiles, expresó respecto del método utilizado: “Era como entrar en una casa a oscuras. Se penetra a tientas en una habitación y, durante meses y hasta años, está uno dándose trompicones con los muebles. Poco a poco se va sabiendo dónde están y puede uno ocuparse de buscar el interruptor de la luz. Cuando se le encuentra y se da la luz, todo resulta claro. Entonces se pasa a la habitación siguiente y se vuelve a empezar” (De “Grandes matemáticos” en Investigación y Ciencia-Temas 1-Prensa Científica SA-Barcelona 1995).

Una vez que logra establecer la demostración, su trabajo se reparte entre seis especialistas para su verificación. Uno de ellos descubre un paso no demostrado, por lo cual deciden devolverle el trabajo hasta que salve la situación. Como el periodismo ya había publicado el éxito de la demostración antes de la verificación de los jueces, la situación de Wiles se convirtió en una verdadera pesadilla.

La demostración (con el error o laguna) no fue publicada ya que, si algún otro matemático resolvía el inconveniente, quedaría como el autor final de la famosa demostración. Luego de dos años de intenso trabajo adicional, Andrew Wiles logra finalmente establecer el resultado esperado, confirmando la negativa de que sólo la igualdad puede cumplirse para el exponente 2.